La matematica dei fenomeni ripetitivi

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I segreti nascosti nei loghi più famosi al mondo

Fenomeni periodici, il cui schema fondamentale è “back to the beginning”, possono essere associati a una struttura algebrica chiamata gruppo, formato da un insieme e da un’operazione definita su di lui, che soddisfa determinate proprietà. Un semplice esempio potrebbe essere l’orologio. Ogni 12 ore l’ago ritorna nello stesso posto disegnando un cerchio. La circonferenza, insieme all’operazione di traduzione degli aghi sarebbe un gruppo.

D’altra parte, la periodicità è anche un comportamento che riproduce alcune soluzioni di equazioni differenziali; quando si disegnano queste soluzioni si ottengono circonferenze chiamate orbite periodiche. Ad esempio, nel sistema solare le traiettorie dei pianeti sono soluzioni di equazioni differenziali, che sorgono quando si applicano le leggi di conservazione dell’energia del sistema, descritte da una funzione scalare chiamata Hamiltoniana.

Ma è possibile conoscere l’esistenza e la posizione di orbite periodiche in sistemi di equazioni differenziali? Questo è essenziale, ad esempio, per sapere se un satellite tornerà al suo punto di partenza o se cadrà in mezzo al nulla. Tuttavia, a causa di disturbi del sistema, a volte non è facile calcolare le orbite, e per farlo è necessario utilizzare tutti i tipi di tecniche: metodi di equazioni differenziali, ma anche strumenti di geometria e topologia. In particolare, cerchiamo di mettere in relazione le proprietà delle orbite con la forma (o topologia) del cosiddetto spazio di fase (che è l’insieme di tutte le posizioni e momenti del sistema).

I metodi utilizzati da Poincaré sono progettati per specifici sistemi di meccanica celeste, ma sono molto efficaci in molte altre situazioni

Uno dei matematici che ha fatto grandi progressi in questo campo è stato il francese Henri Poincaré, conosciuto anche con la congettura che porta il suo nome e che è stato dimostrato dall’unica persona che ha respinto la medaglia Fields in tutta la sua storia, Grigori Perelman. Poincaré ha studiato le orbite periodiche nel problema dei tre corpi, che analizza il movimento di tre oggetti attratti l’uno dall’altro (il Sole, la Terra e la Luna, per esempio). In questo caso le traiettorie, descritte da equazioni differenziali, presentano l’ulteriore complessità di essere un sistema non integrato (cioè, non abbiamo abbastanza integrali per localizzare le loro soluzioni).

Poincaré ha lavorato anche sulla versione ristretta del problema dei tre corpi (dove uno dei corpi dovrebbe avere massa praticamente nulla e che i corpi si muovono in un piano), e ha dimostrato che c’è un’infinità di orbite periodiche che si agglomerano vicino a quella che è conosciuta come la linea infinita. I metodi utilizzati da Poincaré sono progettati per specifici sistemi di meccanica celeste, ma sono molto efficaci in molte altre situazioni e, in alcuni casi, nessun altro strumento è stato ancora trovato per eguagliare o migliorare i risultati. Rimani aggiornato su scoprire, con le notizie curiose dal mondo in italiano e in anteprima.

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